Al Juarizmi, el inventor del álgebra

Autor: J J OConnor y E F Robertso
Un sello de la antigua URSS dedicado a Al Juarizmi
31479_al juarizmi_big.jpgConocemos pocos detalles sobre la vida de Abu Jafar Muhammad ibn Musa al Juarizmi(790-850). Una desafortunada consecuencia de esta falta de conocimiento parece ser la tentación de especular con base en muy pocas evidencias. En 1 Toomer sugiere que el nombre Al Juarizmi puede indicar que llegó de Khwarizm, al sur del mar de Aral en Asia central. Escribe:
Pero el historiador At Tabari le da el epíteto adicional de al-Qutrubbulli, indicando que vino de Qutrubbull, un distrito entre el Tigris y el Eufrates no lejos de Bagdag, así que quizás fueron sus ancestros y no él los que vinieron de Juarizm... Otro epíteto dado por al-Tabari, al-Majusi, podría indicar que fue un adepto de la antigua religión Zoroastriana. ... la piadosa introducción al Álgebra de Al Juarizmi muestra que fue musulmán ortodoxo, así que el epíteto de al-Tabari podría no significar más que sus antepasados, y tal vez él en su juventud, habían sido Zoroastrianos.
Sin embargo, Rashed 7 hace una interpretación diferente de las mismas palabras de al-Tabari:
... las palabras de Al-Tabari deberían ser interpretadas así: Muhammad ibn Musa al- Juarizmi y al-Majusi al-Qutrubbulli ..., (y por tanto hay dos personas, Muhammad ibn Musa Al Juarizmi y al-Majusi al-Qutrubbulli): la letra wa fue omitida en una copia anterior. No merecería la pena mencionar esto si no se hubiese llegado a una serie de conclusiones sobre la personalidad de Al Juarizmi e incluso sobre los orígenes de su conocimiento. En este artículo 1 G. J. Toomer, con confianza ingenua, construyó toda una fantasía basada en ese error y a la que no se le puede negar el mérito de ser amena.
No es el único desacuerdo que encontraremos a la hora de describir la vida y obra de Al Juarizmi. Sin embargo, antes de echar un vistazo a los pocos hechos sobre su vida que conocemos con certeza deberíamos dedicar un momento a fijarnos en el trasfondo cultural y científico en el que trabajó Al Juarizmi.

Harun al-Rashid se convirtió en el quinto califa de la dinastía Abasida el 14 de septiembre de 786, cerca del momento del nacimiento de Al Juarizmi. Harun gobernó, desde su corte en la ciudad capital de Bagdad, sobre el imperio islámico que abarcaba desde el mediterráneo a la India. Llevó la cultura a su corte e intentó establecer las disciplinas intelectuales que en aquel momento habían florecido en el mundo árabe. Tuvo dos hijos, el primogénito fue al-Amin y el más joven fue al-Mamun. Harun murió en 809, después de lo cual estalló un conflicto armado entre sus hermanos. Al-Mamun salió victorioso y al-Amin fue derrotado y muerto en 813. Después de esto, al-Mamun fue califa y gobernó el imperio desde Bagdad. Continuó el patronazgo del conocimiento iniciado por su padre y fundó una academia que fue llamada la Casa de la Sabiduría, donde se tradujeron las obras científicas y filosóficas griegas. También construyó una librería de manuscritos, la primera gran librería desde la de Alejandría, donde se recogieron importantes obras del imperio bizantino. Además de la Casa de la Sabiduría, al-Mamun ordenó construir observatorios en los que los astrónomos pudieran desarrollar el conocimiento recogido de los antiguos.

Al Juarizmi y sus colegas los Banu Musa fueron alumnos de la Casa de la Sabiduría de Bagdag. Sus tareas incluían la traducción de manuscritos científicos griegos y también estudiaron, y escribieron sobre, álgebra, geometría y astronomía. Ciertamente, al-Khwarizmi trabajó bajo el patrocinio de Al-Mamun y dedicó dos de sus textos al califa: su tratado sobre álgebra y su tratado sobre astronomía. El tratado de álgebra Hisab al-jabr wal-muqabala fue el más famoso e importante de todos los trabajos de Al Juarizmi. Es el título de esta obra el que nos ha dado la palabra álgebra y, en un sentido en el que profundizaremos más abajo, es el primer libro escrito sobre álgebra.

La traducción de Rosen de las palabras del propio Al Juarizmi describiendo el propósito de sus libros nos dice que Al Juarizmi intentó enseñar 11 (ver también 1):
... lo que es más fácil y útil en aritmética, tal como los hombres necesitan constantemente en casos de herencias, repartos, pleitos y comercio y todos los tratos entre ellos, ó donde se necesita la medida de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos y otros objetos de varios tipos.

Esto no suena como el contenido de un texto de álgebra y de hecho sólo la primera parte del libro es una discusión de lo que hoy reconoceríamos como álgebra. Sin embargo es importante darse cuenta de que el libro intentaba ser sobre todo práctico y que el álgebra fue introducido para resolver problemas de la vida real que eran parte del día a día en el imperio islámico en aquel tiempo. Al principio del libro, Al Juarizmi describe los números naturales en términos que casi suenan divertidos hoy en día a los que estamos familiarizados con el sistema, pero es importante entender la nueva profundidad de abstracción y entendimiento al que se llegó 11:
Cuando considero lo que la gente normalmente quiere calcular, veo que siempre es un número. También he observado que cada número está compuesto de unidades, y que cualquier número puede ser dividido en unidades. Es más, he visto que cada número que puede ser expresado de uno a diez rebasa al anterior en una unidad; después el diez es duplicado ó triplicado del mismo modo que lo fueron las unidades; así obtenemos el veinte, el treinta, etc., y así hasta cien; después el cien es duplicado y triplicado del mismo modo que las unidades y las decenas, hasta mil; ... así hasta el límite superior de la numeración.

Después de presentar los números naturales, Al Juarizmi presenta el tema principal de esta primera sección del libro, que es la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales ó cuadráticas1 y están compuestas por unidades, raíces y cuadrados. Por ejemplo, para Al Juarizmi una unidad era un número, una raíz era x y un cuadrado era x2. Sin embargo, aunque usaremos la ahora familiar notación algebraica en este artículo para ayudar al lector a entender las nociones, las matemáticas de Al Juarizmi son hechas totalmente con palabras, sin el uso de símbolos.

Él reduce primero una ecuación (lineal ó cuadrática) a una de las seis formas estándar:
Cuadrados igual a raíces
Cuadrados igual a números
Raíces igual a números
Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo, x2 + 10x = 39
Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo, x2 + 21 = 10x
Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo, 3x + 4 = x2

La reducción se hace usando las dos operaciones de al-jabr y al-muqabala. Aquí, al-jabr significa completar y es el proceso de eliminar términos negativos de una ecuación. Por ejemplo, usando uno de los ejemplos del propio Al Juarizmi, al-jabr transforma x2=40x - 4x2 en 5x2=40x. El término al-muqabala significa equilibrar y es el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando se dan a ambos lados de una ecuación. Por ejemplo, dos aplicaciones de al-muqabala reducen 50 + 3x + x2=29 + 10x a 21 + x2=7x (una aplicación para usar sobre los números y otra sobre las raíces).

A partir de ahí Al-Khwarizmi demostró cómo resolver los seis tipos de ecuación estándar. Usó métodos de solución tanto algebraicos como geométricos. Por ejemplo para resolver la ecuación x2 + 10x = 39 escribe 11:
...un cuadrado y 10 raíces son igual a 39 unidades. La cuestión, por tanto, en este tipo de ecuación, es la que sigue: ¿cual es el cuadrado que combinado con diez de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar una mitad de las raíces mencionadas. Las raíces en el problema que vimos eran 10. Por tanto tomamos 5, que multiplicado por sí mismo da 25, una cantidad a la que sumamos 39, dando 64. Habiendo tomado después la raíz cuadrada de éste, que es 8, le restamos la mitad de las raíces, 5, quedando 3. El número tres por tanto representa una raíz de este cuadrado, que él mismo es, naturalmente, 9. Nueve por tanto da el cuadrado.

La cuestión, que no parece tener una fácil respuesta es si Al Juarizmi estaba familiarizado con los Elementos, de Euclides. Sabemos que pudo haberlo estado, quizás incluso sería correcto decir debería haber estado familiarizado con el trabajo de Euclides. En el reinado de al-Rashid, cuando Al Juarizmi era joven, al-Hajjaj había traducido los Elementos, de Euclides al árabe y al-Hajjaj fue uno de los compañeros de Al Juarizmi en la Casa de la Sabiduría. Esto apoyaría los comentarios de Toomer en 1:
...en su introducción, al-Khwarizmi usa figuras geométricas para explicar ecuaciones, lo cual seguramente habla a favor de un conocimiento del Libro II de los Elementos de Euclides.

Rashed 9 escribió que:
...el tratamiento de Al Juarizmi fue inspirado probablemente por el conocimiento reciente de los Elementos.

Sin embargo, Gandz en 6 (ver también 23) argumenta a favor de un punto de vista diferente:
Los Elementos de Euclides en su espíritu y letra son totalmente desconocidos para Al Juarizmi. Al Juarizmi no hace definiciones, ni axiomas ni postulados ni demostraciones del tipo euclidiano.

Yo EFR pienso que está claro que hubiese estudiado o no Al Juarizmi los Elementos de Euclides, fue influido por otros trabajos geométricos. Tal como Parshall escribe en 35:
...debido a su tratamiento de la geometría práctica tan cercano al seguido por el texto hebreo, Mishnat ha Middot, fechado en torno a 150 d.C., existe la evidencia de una ascendencia semítica.

Al Juarizmi continúa su estudio del álgebra en Hisab al-jabr wal-muqabala examinando cómo se extienden las leyes de la aritmética a una aritmética para sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones tales como (a + bx)(c + dx) aunque de nuevo deberíamos hacer notar que Al Juarizmi utiliza tan sólo palabras para describir sus expresiones, y no símbolos. Rashed 9 ve una notable profundidad y novedad en estos cálculos de Al Juarizmi que se nos presentan, examinados desde una perspectiva moderna, como relativamente elementales. Escribe 9:
El concepto de álgebra de Al Juarizmi puede ser comprendido ahora con mayor precisión: se ocupa de la teoría de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y de la aritmética de binomios y trinomios relativos... La solución tenía que ser general y calculable al mismo tiempo en un sentido matemático, esto es, con un fundamento geométrico. ... La restricción de grado, así como el bajo número de términos, se explica de manera inmediata. De esta emergencia real, el álgebra puede ser vista como una teoría de las ecuaciones resueltas por medio de radicales2, y de cálculos algebraicos de expresiones relacionadas...

Si esta interpretación es correcta, entonces Al Juarizmi fue, como escribe Sarton:
... el mayor matemático de su tiempo y, si uno tiene en cuenta todas las circunstancias, uno de los más grandes de todos los tiempos...

En un sentido similar Rashed escribe 9:
Es imposible exagerar la originalidad del concepto y el estilo del álgebra de Al Juarizmi ...

pero Crossley tiene un punto de vista diferente, ya que dice 4:
Al Juarizmi puede no haber sido muy original...

y Toomer, que escribe en 1:
...los logros científicos de Al Juarizmi fueron como mucho mediocres.

En 23 Gandz da esta opinión del álgebra de Al Juarizmi:
El álgebra de Al Juarizmi es reconocida como el fundamento y la piedra angular de las ciencias. En cierto sentido, Al Juarizmidebería ser llamado el padre del álgebra, y no Diofanto, porque Al Juarizmi es el primero en enseñar álgebra de una manera elemental y por sí misma, Diofanto está preocupado más que nada con la teoría de los números.


La siguiente parte del álgebra de Al Juarizmi consiste de aplicaciones y ejemplos. Busca reglas para encontrar el área de figuras como el círculo y también para encontrar el volumen de sólidos, como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección sobre las mediciones ciertamente tiene más en común con textos indios y hebreos que con cualquier trabajo griego. La parte final del libro está relacionada con las complicadas reglas islámicas de la herencia pero casi no implica nada del álgebra antes explicada más allá de la cuestión de resolver ecuaciones lineales.

Al Juarizmi también escribió un tratado sobre la numeración indo-arábiga. El texto árabe se perdió pero una traducción latina, Algoritmi de numero Indorum (en español, Al Juarizmi sobre el arte indio del cálculo) dio origen a la palabra algoritmo, que se deriva de su nombre en el título. Desafortunadamente, la traducción latina (traducida al inglés en 19) se sabe que no es totalmente fiel al texto original de Al Juarizmi (del cual ni siquiera se sabe el título). El trabajo describe el sistema indio de valores según las posiciones, basado en el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. El primer uso del cero como marcador de lugar en notación de base posicional fue probablemente debido a Al Juarizmi en este trabajo. Se dan métodos para cálculos aritméticos y se sabe que había un método para encontrar raíces cuadradas en el texto árabe original, aunque falta en la versión latina. Toomer escribe 1:
...el sistema decimal de valores según la posición era una novedad llegada desde la India y... el trabajo de Al Juarizmi fue el primero en exponerlo sistematicamente. Así, aunque elemental, fue de enorme importancia.

Siete doceavos de siglo de tratados latinos basados en este tratado árabe de Al Juarizmi sobre aritmética se discuten en 17.

Otro importante trabajo de Al Juarizmi fue su trabajo Sindhind zij sobre astronomía. El trabajo, descrito en detalle en 48, está basado en trabajos astronómicos indios 47:
...como opuestos a la mayor parte de guías astronómicas islámicas, que utilizaban los modelos planetarios griegos descritos en el Almagesto de Ptolomeo...

El texto indio sobre el que Al Juarizmi basó su tratado fue uno que había sido regalado a la corte de Bagdag alrededor de 770 por una misión política india. Había dos versiones del trabajo de Al Juarizmi, que él escribió en árabe, pero ambas se perdieron. En el siglo X, al-Majriti hizo una revisión crítica de la versión más corta y esta fue traducida al latín por Abelardo de Bath. También hay una versión latina de la versión más larga y ambos trabajos latinos han sobrevivido. El tema principal tratado por Al Juarizmi en el Sindhind zij son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas, tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralaje3 y de eclipses; y la visibilidad de la Luna. Un manuscrito relacionado, atribuido a Al Juarizmi, que trata sobre trigonometría esférica, es discutido en 39.

Aunque su trabajo astronómico está basado en el de los indios, y la mayoría de los valores a partir de los que calculó sus tablas vinieron de los astrónomos indios, Al Juarizmi también debió recibir la influencia del trabajo de Ptolomeo 1:
Es cierto que las tablas de Ptolomeo, en su revisión por Teón de Alejandría, ya eran conocidas por algunos astrónomos islámicos; y es altamente probable que influenciaran, directamente o por intermediarios, la forma en que Al Juarizmi hizo sus tablas.

Al Juarizmi escribió un trabajo importante sobre geografía que daba latitudes y longitudes de 2402 localidades como base para un mapa del mundo. El libro, que está basado en la Geografía de Ptolomeo lista latitudes y longitudes, ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos. El manuscrito incluye mapas que en conjunto son más precisos que los de Ptolomeo. En particular, está claro que en los sitios para los cuales Al Juarizmi disponía de un mayor conocimiento local, como las regiones islámicas, África y el oriente lejano, su trabajo es considerablemente más preciso que el de Ptolomeo, pero para Europa Al Juarizmi parece haber usado los datos de Ptolomeo.

Cierto número de trabajos menores fueron escritos por Al Juarizmi sobre temas como el astrolabio4, sobre el que escribió dos trabajos, sobre el reloj de sol y sobre el calendario judío. También escribió una historia política que contenía horóscopos de personas prominentes.

Ya hemos discutido los diferentes puntos de vista sobre la importancia del álgebra de Al Juarizmi, que fue su contribución más importante a las matemáticas. Finalicemos este artículo con una cita de Mohammad Kahn, de 3:
En el primer lugar del ranking de los matemáticos de todos los tiempos está Al Juarizmi. Él escribió los trabajos más antiguos sobre aritmética y álgebra. Estos fueron la fuente principal de conocimiento matemático durante siglos tanto en oriente como en occidente. El trabajo sobre aritmética introdujo los números indios en Europa, al igual que la palabra algoritmo; y el trabajo sobre álgebra... dio su nombre a esta importante rama de las matemáticas en el mundo europeo...

MacTutor History of Mathematics Archive



Glosario
Una ecuación cuadrática es una ecuación cuyo término más alto es de grado 2; la forma general se escribe: ax2 + bx + c = 0.

La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número.Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una fórmula para sus raíces en términos de los coeficientes de tal manera que la fórmula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.

Paralaje es el aparente cambio de posición de un objeto causado por un cambio en la posición del observador.

Por ejemplo, el cambio (medido como ángulo) de un cuerpo celeste cuando se le observa desde puntos opuestos sobre la superficie terrestre (paralaje diurna o geocéntrica) o desde puntos opuestos de la órbita terrestre (paralaje anual o heliocéntrica).

Un astrolabio es un instrumento antiguo para medir el ángulo entre el horizonte y una estrella o planeta. Fue remplazado por el octante y el sectante.



Bibliografía
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